BAB I
PENDAHULUAN
1.1.LATAR BELAKANG
Manusia sebagai makhluk sosial,
tidak akan terlepas dari peran serta orang lain dalam kehidupan. Pada kondisi
tertentu manusia pasti membutuhkan jasa orang lain dalam memenuhi kebutuhan
hidup, dan untuk mendapatkannya terkadang mengharuskan untuk menunggu terlebih
dulu. Hal tersebut sangat mungkin terjadi, karena banyak orang yang membutuhkan
jasa yang sama dalam waktu yang bersamaan pula. Kondisi tersebut sering
terlihat dalam kehidupan sehari-sehari, seperti orang menunggu untuk
mendapatkan tiket kereta api, menunggu pesanan di rumah makan, mengantri di
kasir sebuah swalayan, dan mobil yang menunggu giliran untuk dicuci.
Kenyataannya menunggu adalah bagian dari kehidupan sehari-hari, dan yang dapat
diharapkan adalah dapat mengurangi ketidaknyamanan tersebut. Sesuatu yang
sangat diharapkan adalah ketika dapat memperoleh jasa tanpa harus menunggu
terlalu lama. Individu – individu yang menunggu (komponen, produk, kertas
kerja, orang) bertujuan untuk mendapatkan suatu layanan. Pada proses menunggu
untuk mendapatkan layanan tersebut menimbulkan suatu garis tunggu, dan pada
garis tunggu tersebut dapat diprediksi karakteristik –
karakteristiknya.Sehingga dapat dijadikan dasar pengambilan kepustusan agar
tercapai kondisi yang lebih baik, misalnya agar tidak terjadi antrian yang
berkepanjangan.
Menurut Sinalungga (2008:238),
Teori antrian (Queueing Theory) merupakan studi probabilistik kejadian
garis tunggu (waiting lines), yakni suatu garis tunggu dari customer yang
memerlukan layanan dari sistem yang ada. Antrian terjadi karena adanya
keterbatasan sumber pelayanan, yang umumnya berkaitan dengan terbatasnya server
karena alasan ekonomi. Jika jumlah server yang disediakan terbatas,
memungkinkan terjadi antrian yang terlalu lama, sehingga orang dapat memutuskan
untuk meninggalkan antrian tersebut. Hal ini merupakan suatu kerugian bagi
pihak perusahaan, karena kehilangan customer. Agar tidak kehilangan customer,
maka pihak perusahaan harus menyediakan server yang mencukupi,
tetapi dilain pihak perusahaan harus mengeluarkan biaya yang lebih besar.
A.
RUMUSAN MASALAH
1. Bagaimana model dari sistem antrian satu server dengan
pola kedatangan berkelompok (batch arrival)?
2. Bagaimana ukuran keefektifan dari model antrian satu server
dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival)?
3. Bagaimana implementasi model antrian satu server dengan
pola kedatangan berkelompok (batch arrival)?
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan diuraikan
tentang dasar – dasar yang diperlukan dalam pembahasan model antrian dengan
pola kedatangan berkelompok.Pembahasannya mencakup tentang model antrian dengan
pola kedatangan secara individu yang berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan
berdistribusi Eksponensial.
2.1.Proses Antrian
1.
Definisi Proses
Antrian
Menurut Bronson (1996: 310),
proses antrian merupakan proses yang berhubungan dengan kedatangan customer pada
suatu fasilitas pelayanan, menunggu panggilan dalam baris antrian jika belum
mendapatpelayanan dan akhirnya meninggalkan fasilitas pelayanan setelah
mendapat pelayanan. Proses ini dimulai saat customer – customer yang
memerlukan pelayanan mulai datang. Mereka berasal dari suatu populasi yang
disebut sebagai sumber input. Menurut Hillier dan Lieberman (1980: 401), proses
antrian adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan customer ke
suatu sistem antrian, kemudian menunggu dalam antrian hingga pelayan memilih customer
sesuai dengan disiplin pelayanan, dan akhirnya customer meninggalkan
sistem antrian setelah selesai pelayanan. Sistem antrian adalah himpunan customer,
pelayan, dan suatu aturan yang mengatur kedatangan para customer dan
pelayanannya. Sistem antrian merupakan “ proses kelahiran – kematian “ dengan
suatu populasi yang terdiri atas para customer yang sedang menunggu
pelayanan atau yang sedang dilayani. Kelahiran terjadi jika seorang customer
memasuki fasilitas pelayanan, sedangkan kematian terjadi jika customer meninggalkan
fasilitas pelayanan. Keadaan sistem adalah jumlah customer dalam suatu
fasilitas pelayanan. (Wospakrik, 1996 :302)
2.2.Komponen Dasar Dalam Proses Antrian
Menurut Taha (1997:609), suatu
sistem antrian bergantung pada tujuh komponen yaitu pola kedatangan, pola
kepergian, kapasitas sistem, desain pelayanan, disiplin pelayanan, ukuran
sumber pemanggilan, dan perilaku manusia. Komponen – komponen tersebut
diuraikan sebagai berikut.
a. Pola Kedatangan
Menurut Wagner (1972:840), pola
kedatangan adalah pola pembentukan antrian akibat kedatangan customer dalam
selang waktu tertentu. Pola kedatangan dapat diketahui secara pasti atau berupa
suatu variabel acak yang distribusi peluangnya dianggap telahdiketahui. Jika
tidak disebutkan secara khusus customer datang secara individu ke dalam
sistem antrian. Namun dapat pula lebih dari satu customer datang secara
bersamaan ke dalam sistem antrian, pada kondisi ini disebut dengan bulk
arrival (Taha, 1997:177).
b. Pola Kepergian
Pola kepergian adalah banyak
kepergian customer selama periode waktu tertentu. Pola kepergian
biasanya dicirikan oleh waktu pelayanan, yaitu waktu yang dibutuhkan oleh
seorang pelayan untuk melayani seorang customer. Waktu pelayanan dapat
bersifat deterministik dan dapat berupa suatu variabel acak dengan distribusi
peluang tertentu (Bronson, 1996 : 310). Waktu pelayanan bersifat deterministik
berarti bahwa waktu yang dibutuhkan untuk melayani setiap customer selalu
tetap, sedangkan waktu pelayanan yang berupa variabel acak adalah waktu yang
dibutuhkan untuk melayani setiap customer berbeda – beda.
c. Kapasitas Sistem
Menurut Bronson (1996:310),
kapasitas sistem adalah banyak maksimum customer, baik customer yang
sedang berada dalam pelayanan maupun dalam antrian, yang ditampung oleh
fasilitas pelayanan pada waktu yang sama. Suatu sistem antrian yang tidak
membatasi banyak customer dalam fasilitas pelayanannya disebut sistem
berkapasitas tak berhingga, sedangkan suatu sistem yang membatasi banyak customer
dalam fasilitas pelayanannya disebut sistem berkapasitas berhingga, jika customer
memasuki sistem pada saat fasilitas pelayanan penuh maka customer akan
ditolak dan meninggalkan sistem tanpa memperoleh pelayanan.
d. Desain Pelayanan
Menurut Sinalungga (2008:249),
Desain sarana pelayanan dapat diklasifikasikan dalam channel dan phase
yang akan membentuk suatu struktur antrian yang berbeda-beda. Channel menunjukkan
jumlah jalur untuk memasuki sistem pelayanan. Phase berarti jumlah stasiun
stasiun pelayanan, dimana para langganan harus melaluinya sebelum pelayanan
dinyatakan lengkap. Ada empat model struktur antrian dasar yang umum terjadi
dalam seluruh sistem antria.
Single Chanel –
Single Phase Single Chanel berarti
bahwa hanya ada satu jalur untuk.memasuki sistem pelayanan atau ada satu
pelayanan. Single phase menunjukkan bahwa hanya ada satu stasiun
pelayanan sehingga yang telah menerima pelayanan dapat langsung keluar
dari sistem antrian. Contohnya antrian pada penjualan karcis kereta api
yang hanya dibuka satu loket.
Multi phase berarti ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakn
secara berurutan dalam phase-phase. Misalnya pada antrian di laundry,
pakaian – pakaian setelah dicuci kemudian dijemur lalu disetrika dan terakhir
dikemas.
Sistem multi chanel-single
phase terjadi jika ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh
suatu antrian tunggal. Sebagai contoh adalah Sarana pelayanan nasabah di Bank.
Sistem ini terjadi jika ada dua atau lebih fasilitas
pelayanan dengan pelayanannya lebih dari satu phase. Sebagai contoh
adalah pelayanan kepada pasien di rumah sakit dari pendaftaran, diagnosa,
tindakan medis sampai pembayaran. Setiap sistem-sistem ini mempunyai beberapa
fasilitas pelayanan pada setiap tahap, sehingga lebih dari satu individu dapat
dilayani pada suatu waktu.
Sistem Multi Channel – Multi Phase Sebagai contoh, herregistrasi para
mahasiswa di universitas, pelayanan kepada pasien di rumah sakit mulai dari
pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai pembayaran. Setiap sistem – sistem
ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahapnya (Subagyo,
2000).
e. Disiplin Pelayanan
Menurut Sinalungga (2008: 251),
disiplin pelayanan adalah suatu aturan yang dikenalkan dalam memilih customer
dari barisan antrian untuk segera dilayani. Adapun pembagian disiplin
pelayanan ialah:
a. First come first served (FCFS) atau first in first out (FIFO),
b.
suatu peraturan
dimana yang akan dilayani ialah customer yang datang terlebih dahulu.
Contohnya antrian di suatu kasir sebuah swalayan.
2.
Last come first
served (LCFS) atau last in first
out (LIFO)
merupakan antrian dimana yang datang paling akhir adalah
yang dilayani paling awal atau paling dahulu. Contohnya antrian pada satu
tumpukan barang digudang, barang yang terakhir masuk akan berada ditumpukkan
paling atas, sehingga akan diambil pertama.
3.
Service in random
order (SIRO) atau pelayanan dalam
urutan
acak atau sering dikenal juga random selection for
services (RSS), artinya pelayanan atau panggilan didasarkan pada peluang
secara random, tidak mempermasalahkan siapa yang lebih dahulu tiba.
Contohnya kertas – kertas undian yang menunggu untuk ditentukan
pemenangnya, yang diambil secara acak.
4.
Priority service
(PS), artinya prioritas pelayanan
diberikan
kepada mereka yang mempunyai prioritas paling tinggi
dibandingkan dengan mereka yang memiliki prioritas paling rendah, meskipun yang
terakhir ini sudah lebih dahulu tiba dalam garis tunggu. Kejadian seperti ini
bisa disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang yang keadaan penyakit
yang lebih berat dibanding dengan orang lain dalam sebuah rumah sakit.
f. Sumber Pemanggilan
Menurut Taha (1996:177), ukuran
sumber pemanggilan adalah banyaknya populasi yang membutuhkan pelayanan dalam
suatu sistem antrian. Ukuran sumber pemanggilan dapat terbatas maupun tak
terbatas. Sumber pemanggilan terbatas misalnya mahasiswa yang akan melakukan
registrasi ulang di suatu universitas, dimana jumlahnya sudah pasti. Sedangkan
sumber pemanggilan yang tak terbatas misalnya nasabah bank yang antri untuk
menabung atau membuka rekening baru, jumlahnya bisa tak terbatas.
g. Perilaku Manusia
Perilaku manusia merupakan
perilaku – perilaku yang mempengaruhi suatu sistem antrian ketika manusia
mempunyai peran dalam sistem baik sebagai customer maupun pelayan. Jika
manusia berperan sebagai pelayan, dapat melayani customer dengan cepat
atau lambat sesuai kemampuannya sehingga mempengaruhi lamanya waktu tunggu
(Taha, 1996:178).Menurut Gross dan Harris (1998:3), perilaku manusia dalam
sistem antrian jika berperan sebagai customer sebagai berikut. 1. Reneging
mengGambarkan situasi dimana seseorang masuk dalam antrian, namun belum
memperoleh pelayanan, kemudian meninggalkan antrian tersebut.
Balking menggambarkan orang yang tidak masuk dalam antrian dan
langsung meninggalkan tempat antrian. Jockeying mengGambarkan situasi
jika dalam sistem ada dua atau lebih jalur antrian maka orang dapat berpindah
antrian dari jalur yang satu ke jalur yang lain.
2.3.Notasi Kendall
Notasi baku untuk memodelkan
suatu sistem antrian pertama kali dikemukakan oleh D.G.Kendall dikenal
sebagainotasi kendall. Namun, A.M. Lee menambahkan simbol menjadi yang disebut
notasi kendall-Lee (Taha, 1996:627).
2.4.Proses Kelahiran dan Kematian (Birth – Death
Processes)
Proses kedatangan dan kepergian
dalam suatu sistem antrian merupakan proses kelahiran dan kematian (birth –
death processes). Kelahiran terjadi jika seorang customer memasuki
sistem antrian dan kematian terjadi jika seorang customer meninggalkan
sistem antrian tersebut.
2.5.Distribusi Eksponensial dan Distribusi Poisson
1. Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial digunakan
untuk mengGambarkan distribusi waktu pada fasilitas jasa, dimana waktu
pelayanan tersebut diasumsikan bersifat bebas. Artinya, waktu untuk melayani
pendatang tidak bergantung pada lama waktu yang telah dihabiskan untuk melayani
pendatang sebelumnya, dan tidak bergantung pada jumlah pendatang yang menunggu
untuk dilayani.( Djauhari, 1997:175-176 ).
2. Distribusi Poisson
Suatu eksperimen yang
menghasilkan jumlah sukses yang terjadi pada interval waktu ataupun daerah yang
spesifik dikenal sebagai eksperimen Poisson. Interval waktu tersebut dapat
berupa menit, hari,minggu, bulan, maupun tahun, sedangkan daerah yang spesifik
dapat berarti garis, luas, sisi, maupun material. ( Dimyati, 1999:309 ) Menurut
Dimyati, (1999:309) ciri-ciri eksperimen Poisson adalah :
a.
Banyaknya hasil percobaan
yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu bersifat
independen terhadap banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu
atau daerah lain yang terpisah.
b.
Peluang terjadinya
satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sekali atau dalam
suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tesebut atau
besarnya daerah tersebut.
2.6.Ukuran Keefektifan Sistem Antrian
Menurut Taha (1997, 189:190),
ukuran keefektifan suatu sistem antrian dapat ditentukan setelah probabilitas steady
state diketahui. Ukuran – ukuran keefektifan suatu sistem tersebut antara
lain:
·
Nilai harapan
banyaknya customer dalam sistem antrian
·
Nilai harapan
banyaknya customer dalam antrian
·
Nilai harapan waktu
tunggu dalam sistem antrian
·
Nilai harapan waktu
tunggu dalam antrian
Sebelum membahas lebih lanjut,
akan diuraikan lima definisi yang mendukung pembahasan ukuran keefektifan suatu
sistem.Jumlah customer dalam sistem adalah jumlah customer dalam
antrian ditambah jumlah customer yang sedang mendapat layanan.Laju
kedatangan efektif merupakan laju kedatangan rata – rata dalam waktu yang
panjang. Laju kedatangan efektif dinotasikan .
2.7.Model Antrian (M/M/k)
Sebagai dasar dalam pembahasan
model antrian (M/M/k)akan dibahas terlebih dahulu model antrian (M/M/k)
1.
Solusi Steady-State untuk Model (M/M/k)
Sistem antrian (M/M/k)merupakan
model antrian satu sever dengan kedatangan berdistribusi Poisson dan
waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. Model ini merupakan model
tanpa batas.
kapasitas baik dari kapasitas
sistem maupun kapasitas sumber pemanggilan. Aturan pelayanannya bersifat FCFS,
yaitu customer yang datang pertama dilayani terlebih dahulu begitu
seterusnya. Notasi sistem antrian ini berdasarkan dengan notasi
Kendall-Lee.Jika kedatangan customer mengikuti distribusi Poisson dengan
laju , maka dari asumsi (i) probability sebuah kedatangan terjadi , dan
berdasarkan asumsi (v).
2.8.Sistem Antrian
Ada tiga komponen dalam sistim antrian yaitu :
Ada tiga komponen dalam sistim antrian yaitu :
·
Populasi dan
cara kedatangan pelanggan datang ke dalam sistem
·
Sistem
pelayanan
·
kondisi pelanggan saat keluar sistem
BAB III
PEMBAHASAN
Dalam makalah ini akan dibahas
tentang keefektifan sistem antrian multiserver dengan pola kedatangan
berkelompok (batch arrival).
Pola
Kedatangan Berkelompok ( Batch Arrival )
Sebagai contoh situasi pada
sistem antrian dimana customer dating secara berkelompok yaitu
kedatangan customer secara berkelompok disebuah restoran, dan surat –
surat yang tiba di kantor pos. Ilustrasi sistem antrian dengan pola kedatangan
berkelompok ( batch arrival ) terlihat dalam
Pada sistem antrian ini customer
datang secara berkelompok dengan ukuran kelompok tersebut adalah _, dimana
secara umum _ adalah variable acak positif. Pada pembahasan ini, customer datang
berdasarkan distribusi Poisson dengan laju kedatangan , dan terdapat sebuah server
yang memiliki waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial dengan laju
pelayanan , dimana customer dilayani secara individu dengan disiplin
antrian FIFO ( First In First Out ). Desain pelayanan pada sistem
antrian ini adalah Single Channel Single Phase. Notasi untuk model
antrian satu server dengan pola kedatangan berkelompok (batch
arrival ) tersebut.
Proses
Kedatangan dan Kepergian pada Sistem Antrian M/M/k
Pada sistem antrian dengan pola
kedatangan berkelompok ( batch arrival ), ukuran suatu kelompok yang
masuk kedalam suatu sistem antrian merupakan variabel acak positif _,
dengan fungsi peluang kedatangan suatu kelompok berukuran adalah Karena proses kedatangan pada sistem
antrian dengan pola kedatangan berkelompok mengikuti distribusi Poisson dengan
banyaknya kedatangan tiap satuan waktu. Dan setiap kedatangan tersebut
berukuran __, maka banyaknya kedatangan tiap satuan waktu pada sistem
antrian M/M/k ini adalah Laju transisi untuk sistem antrian M/M/k dapat
dilihat dalam
Solusi
Steady state Model Antrian m/m/k
Kondisi steady state yaitu
keadaan sistem yang tidak tergantung pada keadaan awal maupun waktu yang telah
dilalui. Jika suatu sistem antrian telah mencapai kondisi steady state maka
peluang terdapat * customer dalam sistem pada waktu t, yang dinotasikan
dengan m/m/k tidak tergantung pada waktu.
Ukuran
Keefektifan Sistem Antrian m/m/k
Ukuran keefektifan suatu sistem
antrian batch arrival dapat ditentukan setelah PGF dari O diketahui.
Ukuran – ukuran keefektifan dari suatu sistem antrian tersebut adalah banyak customer
dalam sistem/ef, banyak customer yang menunggu dalam antrian/eg,
waktu tunggu setiap customer dalam 70 sistem/hf, waktu tunggu setiap customer
dalam antrian/hg, dan persentase pemanfaatan sarana pelayanan/ij. Ukuran –
ukuran keefektifan tersebut dapat digunakan untuk menganalisis operasi situasi
antrian, yang dimaksudkan untuk pembuatan rekomendasi tentang rancangan sistem
tersebut.
1.
Nilai Harapan Banyak Customer dalam Sistem
Nilai harapan banyak customer dalam sistem
antrian merupakan jumlah keseluruhan dari perkalian customer dalam
sistem dan probabilitasnya,
Implementasi
Agar lebih memahami tentang model
antrian m/m/k diberikan contoh penerapan soal sebagai berikut. Sebagai
ilustrasi penulis memberikan Gambaran penerapan model antrian pada situasi
antrian yang terjadi di sebuah kantor pajak. Data yang diolah adalah data yang
dibangun dengan software minitab yang distribusi kedatangannya memenuhi
distribusi Poisson dan waktu pelayanannya memenuhi distribusi Eksponensial. Dengan
rata – rata laju kedatangan.
